Föreläsning 3: Distributiva lagen; Polynom

"Tidigare brukade man anse att algebra bara är något som en liten grupp har mentala förutsättningar att klara. Man ansåg också att marathonlopp var något som bara en liten del har fysiska förutsättningar att klara. Nu har marathonlopp blivit en folkrörelse – det där att det bara var 'för de utvalda' stämde inte. Och samma sak gäller algebra. Men för att klara ett marathonlopp behöver man träna, och till det behöver man en tränare. Annars kommer man troligen bara att skada sig. Och för algebra behöver man en lärare."

Detta (fritt citerat) hörde jag på ett pedagogiskt föredrag för ett antal år sedan. (Jag har tyvärr glömt föredragshållarens namn.) Men det han underströk, om vikten av läraren, minns jag och håller med om. Vi lärare har lagt upp ett "träningsschema" som vi vet vanligtvis fungerar. Och vi vill gärna kunna följa upp träningen. Bland den bästa hjälpen man som lärare kan få för att kunna hjälpa en student är att få se personens misslyckade uträkningar, så att man kan bedöma exakt vad det behövs hjälp med. Var inte rädd för att visa vad du har gjort; det är bästa sättet att få individanpassat stöd!

 Innehåll

Vi kommer att titta på distributiva lagen och på olika sätt att skriva om uttryck med lagens hjälp. Detta brukar vara känt från gymnasiet. Vi kommer även att titta på när det är klokt att göra omskrivningarna, vilket gymnasiet ofta inte har gått in så noga på.

Uttryck både kan ges på faktoriserad form, som LaTeX: (x+1)·(x+2), och på utvecklad form, som LaTeX: x^2 +3·x+2. I en del tillämpningar är den utvecklade formen bäst, i andra är den faktoriserade mer lämpad. Det är i regel mycket enklare att gå från faktoriserad form till utvecklad form än att gå åt andra hållet. Ta därför för vana att aldrig multiplicera ihop saker utan att först ha funderat på om det är en bra idé. (Att multiplicera ihop saker så fort man får syn på dem brukar sitta som en ryggmärgsreflex efter gymnasiet, och den reflexen ska man träna bort!)

Notera också att distributiva lagen handlar om ett samband mellan addition och multiplikation. Försök inte tillämpa den på andra räknesätt!

I samband med det här kommer vi att titta på kvadratkomplettering, en metod att skriva om andragradsuttryck. De sätt som man resonerar på här är användbara i många andra situationer, så för att säkerställa att alla faktiskt sätter sig in i dem är "pq-formeln" och liknande förbjudna att använda i kursen.

Sedan kommer vi att titta på polynom och rationella uttryck (funktioner som är en kvot mellan två polynom). I gymnasiet har man sällan tittat på polynom som ett begrepp i sig, utan huvudsakligen haft dem som exempel på lättderiverade och lättintegrerade funktioner. Här kommer vi att gå in lite mer på polynomens egenskaper, så det kommer antagligen en del nyheter.

Förberedelse inför föreläsning 3:

Mål för föreläsning 3

Du ska när du är klar med området kunna förklara vad följande betyder: 

• Utvecklad form, faktoriserad form, kvadratkompetterad form • Polynom • Grad • Koefficient • Nollställe • Nollfaktorlagen • Rationellt uttryck

Du ska kunna göra följande:

  • Motivera och tillämpa distributiva lagen.
  • Multiplicera ihop uttryck och bryta ut gemensamma faktorer.
  • Härleda och tillämpa kvadreringsreglerna och konjugatregeln (framlänges och baklänges).
  • Kvadratkomplettera ett andragradsuttryck, och läsa ut extrempunkt och extremvärde ur den kvadratkompletterade formen.
  • Faktorisera ett andragradsuttryck med hjälp av kvadratkomplettering.
  • Bestämma radie och medelpunkt hos en cirkel med hjälp av kvadratkomplettering.
  • Utnyttja faktorsatsen.
  • Genomföra en polynomdivision.
  • Utnyttja sambandet mellan polynoms nollställen och koefficienter.
  • Förenkla rationella uttryck och kunna ange under vilka omständigheter förenklingarna är giltiga.

Föreläsningen följs upp av lektion 5 och 6.

←Föreläsning 2 Föreläsning 4→